2014-15 Progetto CAM

Progetto CAM 2014

(Crittografia e Aritmetica Modulare)

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  • Laboratorio PLS rivolto a 60 studenti del 4° e 5° anno ed ai docenti di Matematica ed Informatica delle Scuole Secondarie di II grado della Provincia di Padova.
  • 7 incontri di 2 ore (dal 17 ottobre al 28 novembre 2014) presso il Dipartimento di Matematica dell’Università degli Studi di Padova.
  • Responsabile del progetto: Prof.ssa Patrizia Cuccia, coadiuvata da Prof. Riccardo Colpi e Prof.ssa Luisa Fiorot (Dipartimento di Matematica).
  • Referenti PLS-Matematica e Statistica: Prof. Alberto Zanardo (Dipartimento di Matematica), Prof. Giuseppe Zampieri (Ufficio Scolastico Regionale).

Nell’ambito del Piano Lauree Scientifiche, il Dipartimento di Matematica dell’Università degli Studi di Padova, in collaborazione con l’Ufficio Scolastico Provinciale di Padova, propone una attività laboratoriale dal 17 ottobre al 28 novembre 2014, denominata
“Crittografia e Aritmetica Modulare”, rivolta a 60 studenti del quarto o quinto anno degli istituti secondari di II grado della provincia di Padova. L’attività è aperta anche ai docenti di matematica ed informatica degli stessi istituti.

I partecipanti verranno introdotti ai primi elementi di Aritmetica Modulare che, nel XVII secolo Pierre Fermat considerava come un “gioco” matematico, ma che 300 anni dopo ha dato origine alla crittografia moderna. Studenti e docenti potranno cimentarsi in una serie di laboratori aritmetici e crittografici sotto la supervisione di tutor. La peculiarità di questo progetto è che, disponendo dei soli prerequisiti della matematica del primo biennio delle scuole secondarie di II grado, i partecipanti si troveranno coinvolti nello studio di una delle più sorprendenti applicazioni dell’aritmetica modulare che è attualmente un dominio fecondo di ricerca matematica. Nello svolgimento del progetto i partecipanti saranno stimolati ad utilizzare le loro capacità organizzative, creative e innovative. Saranno inoltre incoraggiati a sviluppare un pensiero critico e di autovalutazione sul lavoro svolto, requisito imprescindibile per la buona riuscita di un percorso di studi universitario. Al termine del progetto verrà inoltre proposto a tutti gli studenti partecipanti un pomeriggio di accoglienza presso la Scuola Galileiana di Studi Superiori dell’Università degli Studi di Padova.

Ai fini della valutazione dell’attività è previsto un test finale per gli studenti partecipanti. I contenuti e gli esiti dei test saranno rispettivamente proposti e valutati dai responsabili del progetto, e coloro che avranno ottenuto una valutazione positiva potranno partecipare ad una visita guidata al palazzo del Bo’, incluso l’ingresso al Teatro Anatomico e la visita alla Cattedra di Galileo.

Primo Incontro, 17 ottobre 2014

cifrario cesareLezione 1 (Prof. ssa Cuccia) 
Che cos’è la crittografia: la steganografia, la crittografia per trasposizione e per sostituzione. La crittografia nella storia: Erodoto, il crittosistema di Cesare, il cifrario di Vigenère, la macchina Enigma.

Laboratorio 1
Il cifrario di Cesare: cifratura e decifratura. Cifratura di Vigenère con parola chiave, e la decifratura con parola chiave di lunghezza nota.

Secondo Incontro, 24 ottobre 2014

  • Lezione 2 Prima parte (Prof. ssa Cuccia) 
    Dalla chiave privata alla chiave pubblica: il doppio lucchetto, la chiave asimmetrica, il metodo RSA. Il ruolo dellaf1 matematica nella crittografia moderna. La ricerca di grandi numeri primi. Crittografia e aritmetica modulare.
  • Lezione 2 Seconda Parte 
    Primalità, fattorizzazione e loro complessità algoritmica; dalla macchina di Turing al computer quantistico. Dall’aritmetica di Fermat e di Eulero all’applicazione del metodo RSA dei nostri tempi.

Terzo Incontro, 31 ottobre 2014

  • Lezione 3
    Fattorizzazione unica e divisione intera. Algoritmo di Euclide e formula di Bezout. L’insieme delle classi resto modulo n.
  • Laboratorio 3
    Divisibilità intera. Massimo comune divisore, Algoritmo di Euclide esteso, Formula di Bezout. Classi resto modulo n.
  • Laboratorio 3. Soluzioni

Quarto Incontro, 7 novembre 2014

  • Lezione 4
    Aritmetica modulare: le operazioni di addizione e di moltiplicazione nelle classi resto. Potenze successive. Elementi moltiplicativamente invertibili e calcolo degli inversi con l’algoritmo di Euclide esteso. La prova del 9. La funzione di Eulero: definizione, proprietà e calcolo esplicito. Complessità algoritmica della funzione di Eulero.
  • Laboratorio 4
    Compatibilità delle operazioni con le congruenze modulo n. Calcolo di potenze in Zn. Tabelle additive e moltiplicative di Zn. Determinazione degli elementi invertibili e degli eventuali inversi attraverso l’algoritmo di Euclide esteso. La prova dell’11. Calcolo della funzione di Eulero.
  • Laboratorio 4. Soluzioni

Quinto Incontro, 14 novembre 2014

Sesto Incontro, 21 novembre 2014

  • Lezione 5
    Il piccolo teorema di Fermat ed il Teorema di Eulero-Fermat. Applicazione al metodo crittografico RSA. Definizione della chiave pubblica e della chiave privata. Dal testo allle classi resto attraverso la scrittura m-aria.
  • Laboratorio 5Alcune riflessioni sui teoremi di Eulero e di Fermat e sulla loro applicazione al sistema crittografico RSA. Univocità della cifratura. Un esempio ingenuo di RSA monoalfabetico. Applicazione reale di RSA a “pacchetti” di testo attraverso la scrittura m-adica.
  • Laboratorio 5. Soluzioni

Settimo Incontro, 28 novembre 2014

  • Conferenza Prof. Languasco Lezione-conferenza dal titolo RSA: firma digitale e attacchi. Il prof. Alessandro Languasco è studioso di Teoria dei Numeri, professore di Analisi Matematica del nostro ateneo e docente del corso di Crittografia per la laurea magistrale in Matematica e per la laurea magistrale in Informatica, nonché autore con il prof. Alessandro Zaccagnini del volume Introduzione alla Crittografia edito da Hoepli.
  • Test autovalutazione Test di autovalutazione finale per gli studenti partecipanti al progetto CAM.
  • Test valutazione Test di valutazione finale per gli studenti partecipanti al progetto CAM.
  • Test valutazione. Soluzioni

Conclusione, 9 dicembre 2014
Tutti gli studenti che hanno ottenuto un esito positivo al test finale e i docenti che hanno partecipato come relatori o uditori al progetto CAM sono invitati all’incontro conclusivo che prevede:

  • la visita al Palazzo Bo e al Teatro Anatomico (ingresso riservato come “ospiti dellʼ ateneo” al di fuori del normale orario turistico,bo gentilmente offerto dal servizio cerimoniale dellʼ Università degli Studi di Padova, che mette a disposizione due guide dell’associazione Elena Lucrezia Cornaro Piscopia).
  • la visita alla sede della Scuola Galileiana di Studi Superiori presso il Collegio Morgagni.