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Algebra lineare e geometria – Matematica
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Algebra lineare e geometria
Corso di Algebra Lineare e Geometria (A. A. 2015-16 Ing. Biomedica, dell’Informazione, Elettronica e Informatica) di Francesco Bottacin (Università di Padova, Dipartimento di Matematica) Lezione 1 introduzione, definizione di campo, esempi di campi infiniti e finiti, definizione di spazio vettoriale. https://www.youtube.com/watch?v=mGQN95Bxxl8 Lezione 2 esempi di spazi vettoriali, combinazioni lineari di vettori, vettori linearmente indipendenti, vettori linearmente dipendenti. https://www.youtube.com/watch?v=aIpgAS14BSQ Lezione 3 esercizi sulla dipendenza lineare, sottospazi vettoriali. https://www.youtube.com/watch?v=QCrWXUqImyc Lezione 4 unione e intersezione di sottospazi vettoriali, somma di sottospazi vettoriali, sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori. https://www.youtube.com/watch?v=W3JdN-PifZg Lezione 5 insiemi di generatori, insiemi liberi di generatori, basi, spazi vettoriali finitamente generati, esempi di spazi vettoriali non finitamente generati, il lemma dello scambio. https://www.youtube.com/watch?v=k-CO-tPRJ8Q Lezione 6 tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi, la dimensione di uno spazio vettoriale, la base canonica di R^n, ogni insieme di generatori contiene una base, ogni insieme di vettori linearmente indipendenti può essere completato a una base. https://www.youtube.com/watch?v=hU5HDNS4Sg0 Lezione 7 in uno spazio vettoriale di dim n, n vettori linearmente indipendenti sono anche generatori, quindi formano una base. La formula di Grassmann. Somma diretta di due sottospazi vettoriali. https://www.youtube.com/watch?v=MGH0pJ2vJWQ Lezione 8 esercizi su sottospazi vettoriali, generatori, basi, intersezione e somma di sottospazi vettoriali. https://www.youtube.com/watch?v=Ze4ZpCMs3e4 Lezione 9 Esercizi. Funzioni lineari tra spazi vettoriali. Isomorfismi di spazi vettoriali. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n su un campo K sono isomorfi a Kn. https://www.youtube.com/watch?v=WiVX_6UT_N8 Lezione 10 Nucleo e immagine di una funzione lineare. Teorema nullità + rango. https://www.youtube.com/watch?v=7qxCxsMkqPk Lezione 11 Matrice associata ad una funzione lineare. Somma di funzioni lineari e somma di matrici. Prodotto di una matrice per uno scalare. Lo spazio vettoriale delle matrici. Composizione di funzioni lineari e prodotto di matrici. https://www.youtube.com/watch?v=jUF73jMZy8g Lezione 12 Operazioni tra matrici e loro proprietà. La trasposta di una matrice. https://www.youtube.com/watch?v=XpphaXwWa8A Lezione 13 Esempi ed esercizi sulle matrici associate alle funzioni lineari. https://www.youtube.com/watch?v=us3BKZ6orko Lezione 14 Cambiamenti di base in uno spazio vettoriale. Matrici relative alla stessa funzione lineare tra due spazi vettoriali, rispetto a basi diverse. Formule di cambiamento di base. https://www.youtube.com/watch?v=6ZTXKjzX44M Lezione 15 Esercizi sui cambiamenti di base. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi omogenei e non omogenei. https://www.youtube.com/watch?v=3PYE5uO6qnI Lezione 16 Il teorema di Rouché-Capelli. Operazioni elementari sulle righe o colonne di una matrice. Eliminazione di Gauss (riduzione di una matrice in forma a scala). https://www.youtube.com/watch?v=KhmhaY49Ses Lezione 17 Risoluzione di un sistema lineare mediante il metodo di eliminazione di Gauss. Esempio di applicazione dei sistemi lineari: la TAC. Operazioni elementari e moltiplicazione per le rispettive matrici. https://www.youtube.com/watch?v=OYZB3gb1u3o Lezione 18 Esercizi sulla riduzione di una matrice in forma a scala. Calcolo della matrice B tale che BA = A’ è la forma a scala di A. Determinazione delle relazioni di dipendenza lineare tra vettori. Determinazione di una base dell’intersezione di due sottospazi vettoriali. https://www.youtube.com/watch?v=JIAeb2TdbgU Lezione 19 Calcolo dell’inversa di una matrice mediante l’eliminazione di Gauss. Il concetto di determinante di una matrice. https://www.youtube.com/watch?v=aQk9xNnFmJs Lezione 20 Permutazioni, segno di una permutazione. Definizione del determinante di una matrice. Calcolo esplicito del determinante (usando le permutazioni) per matrici di ordine 2 o 3. Alcune proprietà dei determinanti. https://www.youtube.com/watch?v=4h1QdDX2_aw Lezione 21 Alcune proprietà dei determinanti. Calcolo del determinante mediante l’eliminazione di Gauss. Il teorema di Binet. I complementi algebrici e la matrice aggiunta. La formula di Laplace. https://www.youtube.com/watch?v=eu_Tqd_tMts Lezione 22 La formula per calcolare l’inversa di una matrice. Il teorema di Cramer. Matrici simili. Autovalori e autovettori. https://www.youtube.com/watch?v=ZPf8icgW47M Lezione 23 Polinomio caratteristico, equazione caratteristica. Esempi di calcolo di autovalori. Autovettori e autospazi. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. Esempi di calcolo di autovettori. https://www.youtube.com/watch?v=CnsN1E0sXWU Lezione 24 Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Matrici diagonalizzabili. Esercizi su autovalori e autovettori. https://www.youtube.com/watch?v=f6NrAH4I2cM Lezione 25 Criterio di diagonalizzabilità di una matrice. Autovalori di una matrice simmetrica. Applicazione della diagonalizzazione delle matrici alla risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali lineari. https://www.youtube.com/watch?v=c6Bz7NwZP6I Lezione 26 L’esponenziale di una matrice. Esercizi. https://www.youtube.com/watch?v=Nw-P4XqtsTI Lezione 27 Esercizi (sottospazi vettoriali, funzioni lineari, matrici). https://www.youtube.com/watch?v=ymY0KE6d9ug Lezione 28 Esercizi (funzioni lineari, matrici). https://www.youtube.com/watch?v=KaiQHuQ-sx0 Lezione 29 Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori, diagonalizzazione). https://www.youtube.com/watch?v=whxtQgYSS3g Lezione 30 Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori). https://www.youtube.com/watch?v=Ph_zoD8YlyY Lezione 31 Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori). https://www.youtube.com/watch?v=OTueK2M3LwQ Lezione 32 Il prodotto scalare di due vettori. Norma di un vettore, angolo tra due vettori, aree, volumi. Il sottospazio ortogonale di un sottospazio vettoriale. https://www.youtube.com/watch?v=-I1qFJOaXME Lezione 33 La dimensione dell’ortogonale di un sottospazio vettoriale. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale. Matrici di proiezione. https://www.youtube.com/watch?v=IsfwRDwpf8s Lezione 34 Il metodo dei minimi quadrati. Basi ortogonali e basi ortonormali. Il procedimento di Gram-Schmidt. https://www.youtube.com/watch?v=SzHdyO7y56c Lezione 35 Forme bilineari simmetriche. Forme definite positive, negative, indefinite. Forme bilineari degeneri e non degeneri. Matrici associate alle forme bilineari simmetriche. https://www.youtube.com/watch?v=opYzc1F02Xo Lezione 36 Cambiamenti di base, matrici congruenti. Il procedimento di Gram-Schmidt per le forme bilineari simmetriche definite positive (costruzione di basi ortogonali o ortonormali). https://youtu.be/AOertHlaaSg Lezione 37 Metodo per determinare se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa o indefinita. Esercizi sulla costruzione di basi ortogonali. https://youtu.be/JeHjPFQNnWw Lezione 38 Funzioni lineari simmetriche, il teorema spettrale. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. https://youtu.be/OM1BqTzz2ck Lezione 39 Spazi affini: lo spazio affine reale n-dimensionale. Sottospazi affini: equazioni parametriche e equazioni cartesiane. Distanze. https://youtu.be/yB6CF-NdkEk Lezione 40 Esercizi su rette e piani affini. Vettore ortogonale a un iperpiano affine. Distanza di un punto da un iperpiano affine. https://youtu.be/0294WW09k9A Lezione 41 Fasci di piani. Prodotto vettoriale di due vettori, prodotto misto e applicazioni. https://youtu.be/FK21OzS-LGg Lezione 42 Cenni sulla teoria delle coniche. Esercizi (prodotti scalari, proiezioni ortogonali, ecc.) https://youtu.be/pJWQbQ-OOp0 Lezione 43 Esercizi (prodotti scalari, proiezioni ortogonali, ecc.) https://youtu.be/zPjrpUJbGL0 Lezione 44 Esercizi (problemi di geometria affine) https://youtu.be/NAQsfdayMUs Lezione 45 Esercizi (problemi di geometria affine) https://youtu.be/UjJe4IMHXaI Lezione 46 Ultima lezione del corso: esercizi (problemi di geometria affine) https://youtu.be/R3rJwwr0oyk