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Algebra lineare e geometria

Corso di Algebra Lineare e Geometria (A. A. 2015-16 Ing. Biomedica, dell'Informazione, Elettronica e Informatica) di Francesco Bottacin (Università di Padova, Dipartimento di Matematica)

Lezione 1
introduzione, definizione di campo, esempi di campi infiniti e finiti, definizione di spazio vettoriale.
https://www.youtube.com/watch?v=mGQN95Bxxl8

Lezione 2
esempi di spazi vettoriali, combinazioni lineari di vettori, vettori linearmente indipendenti, vettori linearmente dipendenti.
https://www.youtube.com/watch?v=aIpgAS14BSQ

Lezione 3
esercizi sulla dipendenza lineare, sottospazi vettoriali.
https://www.youtube.com/watch?v=QCrWXUqImyc

Lezione 4
unione e intersezione di sottospazi vettoriali, somma di sottospazi vettoriali, sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori.
https://www.youtube.com/watch?v=W3JdN-PifZg

Lezione 5
insiemi di generatori, insiemi liberi di generatori, basi, spazi vettoriali finitamente generati, esempi di spazi vettoriali non finitamente generati, il lemma dello scambio.
https://www.youtube.com/watch?v=k-CO-tPRJ8Q

Lezione 6
tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi, la dimensione di uno spazio vettoriale, la base canonica di R^n, ogni insieme di generatori contiene una base, ogni insieme di vettori linearmente indipendenti può essere completato a una base.
https://www.youtube.com/watch?v=hU5HDNS4Sg0

Lezione 7
in uno spazio vettoriale di dim n, n vettori linearmente indipendenti sono anche generatori, quindi formano una base. La formula di Grassmann. Somma diretta di due sottospazi vettoriali.
https://www.youtube.com/watch?v=MGH0pJ2vJWQ

Lezione 8
esercizi su sottospazi vettoriali, generatori, basi, intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
https://www.youtube.com/watch?v=Ze4ZpCMs3e4

Lezione 9
Esercizi. Funzioni lineari tra spazi vettoriali. Isomorfismi di spazi vettoriali. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n su un campo K sono isomorfi a Kn.
https://www.youtube.com/watch?v=WiVX_6UT_N8

Lezione 10
Nucleo e immagine di una funzione lineare. Teorema nullità + rango.
https://www.youtube.com/watch?v=7qxCxsMkqPk

Lezione 11
Matrice associata ad una funzione lineare. Somma di funzioni lineari e somma di matrici. Prodotto di una matrice per uno scalare. Lo spazio vettoriale delle matrici. Composizione di funzioni lineari e prodotto di matrici.
https://www.youtube.com/watch?v=jUF73jMZy8g

Lezione 12
Operazioni tra matrici e loro proprietà. La trasposta di una matrice.
https://www.youtube.com/watch?v=XpphaXwWa8A

Lezione 13
Esempi ed esercizi sulle matrici associate alle funzioni lineari.
https://www.youtube.com/watch?v=us3BKZ6orko

Lezione 14
Cambiamenti di base in uno spazio vettoriale. Matrici relative alla stessa funzione lineare tra due spazi vettoriali, rispetto a basi diverse. Formule di cambiamento di base.
https://www.youtube.com/watch?v=6ZTXKjzX44M

Lezione 15
Esercizi sui cambiamenti di base. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi omogenei e non omogenei.
https://www.youtube.com/watch?v=3PYE5uO6qnI

Lezione 16
Il teorema di Rouché-Capelli. Operazioni elementari sulle righe o colonne di una matrice. Eliminazione di Gauss (riduzione di una matrice in forma a scala).
https://www.youtube.com/watch?v=KhmhaY49Ses

Lezione 17
Risoluzione di un sistema lineare mediante il metodo di eliminazione di Gauss. Esempio di applicazione dei sistemi lineari: la TAC. Operazioni elementari e moltiplicazione per le rispettive matrici.
https://www.youtube.com/watch?v=OYZB3gb1u3o

Lezione 18
Esercizi sulla riduzione di una matrice in forma a scala. Calcolo della matrice B tale che BA = A' è la forma a scala di A. Determinazione delle relazioni di dipendenza lineare tra vettori. Determinazione di una base dell'intersezione di due sottospazi vettoriali.
https://www.youtube.com/watch?v=JIAeb2TdbgU

Lezione 19
Calcolo dell'inversa di una matrice mediante l'eliminazione di Gauss. Il concetto di determinante di una matrice.
https://www.youtube.com/watch?v=aQk9xNnFmJs

Lezione 20
Permutazioni, segno di una permutazione. Definizione del determinante di una matrice. Calcolo esplicito del determinante (usando le permutazioni) per matrici di ordine 2 o 3. Alcune proprietà dei determinanti.
https://www.youtube.com/watch?v=4h1QdDX2_aw

Lezione 21
Alcune proprietà dei determinanti. Calcolo del determinante mediante l'eliminazione di Gauss. Il teorema di Binet. I complementi algebrici e la matrice aggiunta. La formula di Laplace.
https://www.youtube.com/watch?v=eu_Tqd_tMts

Lezione 22
La formula per calcolare l'inversa di una matrice. Il teorema di Cramer. Matrici simili. Autovalori e autovettori.
https://www.youtube.com/watch?v=ZPf8icgW47M

Lezione 23
Polinomio caratteristico, equazione caratteristica. Esempi di calcolo di autovalori. Autovettori e autospazi. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. Esempi di calcolo di autovettori.
https://www.youtube.com/watch?v=CnsN1E0sXWU

Lezione 24
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Matrici diagonalizzabili. Esercizi su autovalori e autovettori.
https://www.youtube.com/watch?v=f6NrAH4I2cM

Lezione 25
Criterio di diagonalizzabilità di una matrice. Autovalori di una matrice simmetrica. Applicazione della diagonalizzazione delle matrici alla risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali lineari.
https://www.youtube.com/watch?v=c6Bz7NwZP6I

Lezione 26
L'esponenziale di una matrice. Esercizi.
https://www.youtube.com/watch?v=Nw-P4XqtsTI

Lezione 27
Esercizi (sottospazi vettoriali, funzioni lineari, matrici).
https://www.youtube.com/watch?v=ymY0KE6d9ug

Lezione 28
Esercizi (funzioni lineari, matrici).
https://www.youtube.com/watch?v=KaiQHuQ-sx0

Lezione 29
Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori, diagonalizzazione).
https://www.youtube.com/watch?v=whxtQgYSS3g

Lezione 30
Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori).
https://www.youtube.com/watch?v=Ph_zoD8YlyY

Lezione 31
Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori).
https://www.youtube.com/watch?v=OTueK2M3LwQ

Lezione 32
Il prodotto scalare di due vettori. Norma di un vettore, angolo tra due vettori, aree, volumi. Il sottospazio ortogonale di un sottospazio vettoriale.
https://www.youtube.com/watch?v=-I1qFJOaXME

Lezione 33
La dimensione dell'ortogonale di un sottospazio vettoriale. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale. Matrici di proiezione.
https://www.youtube.com/watch?v=IsfwRDwpf8s

Lezione 34
Il metodo dei minimi quadrati. Basi ortogonali e basi ortonormali. Il procedimento di Gram-Schmidt.
https://www.youtube.com/watch?v=SzHdyO7y56c

Lezione 35
Forme bilineari simmetriche. Forme definite positive, negative, indefinite. Forme bilineari degeneri e non degeneri. Matrici associate alle forme bilineari simmetriche.
https://www.youtube.com/watch?v=opYzc1F02Xo

Lezione 36
Cambiamenti di base, matrici congruenti. Il procedimento di Gram-Schmidt per le forme bilineari simmetriche definite positive (costruzione di basi ortogonali o ortonormali).
https://youtu.be/AOertHlaaSg

Lezione 37
Metodo per determinare se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa o indefinita. Esercizi sulla costruzione di basi ortogonali.
https://youtu.be/JeHjPFQNnWw

Lezione 38
Funzioni lineari simmetriche, il teorema spettrale. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche.
https://youtu.be/OM1BqTzz2ck

Lezione 39
Spazi affini: lo spazio affine reale n-dimensionale. Sottospazi affini: equazioni parametriche e equazioni cartesiane. Distanze.
https://youtu.be/yB6CF-NdkEk

Lezione 40
Esercizi su rette e piani affini. Vettore ortogonale a un iperpiano affine. Distanza di un punto da un iperpiano affine.
https://youtu.be/0294WW09k9A

Lezione 41
Fasci di piani. Prodotto vettoriale di due vettori, prodotto misto e applicazioni.
https://youtu.be/FK21OzS-LGg

Lezione 42
Cenni sulla teoria delle coniche. Esercizi (prodotti scalari, proiezioni ortogonali, ecc.)
https://youtu.be/pJWQbQ-OOp0

Lezione 43
Esercizi (prodotti scalari, proiezioni ortogonali, ecc.)
https://youtu.be/zPjrpUJbGL0

Lezione 44
Esercizi (problemi di geometria affine)
https://youtu.be/NAQsfdayMUs

Lezione 45
Esercizi (problemi di geometria affine)
https://youtu.be/UjJe4IMHXaI

Lezione 46
Ultima lezione del corso: esercizi (problemi di geometria affine)
https://youtu.be/R3rJwwr0oyk